关于1/n的和的研究

对于任意n,存在m,使F(nm)=Σmi=1（1/nm) >1 (1) nϵN.mϵN.

如，n1=5,则1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12≈1.01>1.此时，m=8.当n1=8时，1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+1/21+1/22≈1.087>1.此时，m=15.

我把m的值称为F(n)的长度。那么，上述现象也可表述为，长度合适的1/N的和总能大于1。F5表示F（N)的长度为5，亦即m=5.

这个式子可这样理解，给定一个自然数N,其后第N个数字为1/（2N-1),则（2N-1)个1/(2N-1）为1，而1/(2N-1)之前的数均大于1/（2N-1),͢͢这(2N-1)个数字分别是1/N,1/（N+1)，1/(N+2),...,1/(2N-1),...,1/(3N-4),1/(3N-3),1/(3N-2).中间为1/(2N-1).这个数列首尾，次首尾，...的平均数为（2N-1)/[N*(3N-2)],（2N-1)/[(n+1）*(3N-3)]..，可以看出，后一个比前一个小，即越往中间越小，故1/(2N-1)最小。所以（2N-1)个从1/N开始的每个数的和一定大于1.下面举例说明。

当n1=5,m=5时，F5（5）=1/5+1/6+1/7+1/8+1/9.而9*1/9=1,故F9(5)>1.即1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13≈1.086>1.

这个不等式的意义在于，证明Σi=1n(1/n）无极值。

牛广峰.

23.12.8

现在研究1/n的前n项和与末项的关系.

项的分母(分子均为1） , 和的整数部分M

1 1

2,3,4 2

5,6,7，...,13 3

14,15,16,17,...,40 4

41,42,43,44,...,121 5

122,123,124，...,364 6

总结，左边首项，从5开始，为2+3^（1+2+...+M-2)

M为要到达的自然数。则有下列公式

A=(3^M-1)/2,其中，A为数列的末项的分母。

如：M=3，A=(3^3-1）/2=13

再如M=8，A=(3^8-1)/2=3280.

实际上，A的值比实际的大，因为各段为超过1的值均大于1.即把每段大于1的部分都舍去了。

n,2n-1,n+2n-1-1=3n-2, 2,5,14,41,122,

122=2+

364=3*122-2

所以，A=3*[2+]-2=(3^M-1）/2.

A1=[3^(M-1)+1]/2,A1为M开始的那一项。A为末项，同上。A1=41，A=121，就是数列中那段值为5的首末两项。